\chapter{几何与动力学}


当我们进一步观察宇宙时，它似乎更加简单\textnote{见图1.1}。在大尺度范围内取平均，星系的块状分布性将变得均匀和各向同性，即与位置和方向无关。正如我们将看到的，在$\S 1.1$中，均匀性和各向同性在宇宙的几何时空中挑选出了一种独特形式。在$\S 1.2$中，我们将讨论粒子和光如何在这种时空中传播。最后，在$\S 1.3$中，我们将展示将宇宙的膨胀速率与其包含的物质内容联系起来的广义相对论方程。

\begin{figure}[h!]
	\centering
	\includegraphics[width=0.65\linewidth]{picture/0007.jpg}
	\caption{星系的分布在小尺度上是块状的，但在大尺度上和宇宙早期将变得更加均匀。}
\end{figure}


\section{几何}


\subsection{度规}

我假设你以前见过一个度规\textnote{否则，我们会遇到麻烦}。提醒一下，度规是一个将坐标距离转换为物理距离的对象。
例如，在三维欧几里得空间中，由无穷小的坐标距离$\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y$和$\mathrm{d} z$分隔的两点，它们之间的物理距离为
\begin{equation}
	\mathrm{d} \ell^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2=\sum_{i, j=1}^3 \delta_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j
\end{equation}
这里我们引进符号$\left(x^1, x^2, x^3\right)=(x, y, z)$。在这个简单例子中，度规是Kronecker delta \textnote{$\delta_{i j}=\operatorname{diag}(1,1,1)$}。然而，你也知道，如果我们使用球极坐标系，那么物理距离的平方将不再是坐标距离的平方和。相反，我们会得到
\begin{equation}
	\mathrm{d} \ell^2=\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \theta^2+r^2 \sin ^2 \theta \mathrm{d} \phi^2 \equiv \sum_{i, j=1}^3 g_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j
\end{equation}
其中$\left(x^1, x^2, x^3\right)=(r, \theta, \phi)$。在这个例子中，度规采用了一种不那么平凡的形式，即$g_{i j}=\operatorname{diag}\left(1, r^2, r^2 \sin ^2 \theta\right)$。
这说明，使用不同坐标系的观察者不一定会同意两点之间有相同的坐标距离，但他们始终会同意有相同的物理距离$\mathrm{d} \ell$。我们把$\mathrm{d} \ell$称为不变量。因此，该度量把观察者依赖的坐标系量转换为不变量。


相对论的一个基本对象就是时空度规。它将观察者依赖的时空坐标$X^\mu=\left(t, x^i\right)$转换为线元不变量\footnote{ 在整个课程中，使用爱因斯坦求和惯例，其中重复的指标表示求和。我们也使用自然单位制，$c \equiv 1$，因此$\mathrm{d} X^0=\mathrm{d}$。我们的度规号差是取最多的负号，$(+,-,-,-)$。}
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=\sum_{\mu, \nu=0}^3 g_{\mu \nu} \mathrm{d} X^\mu \mathrm{d} X^\nu \equiv g_{\mu \nu} \mathrm{d} X^\mu \mathrm{d} X^\nu .
\end{equation}
在狭义相对论中，闵可夫斯基度规在时空中的任何地方都是相同的，
\begin{equation}
	g_{\mu \nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)
\end{equation}
另一方面，在广义相对论中，度规将取决于时空位置，
\begin{equation}
	g_{\mu \nu}(t, \boldsymbol{x}) .
\end{equation}
度规的时空依赖性包含了重力效应。
宇宙中物质和能量的分布，决定了度规对时空位置的依赖。均匀的宇宙拥有大尺度的对称性，这意味着膨胀中的宇宙有相当简单的度规形式。




空间均匀性和各向同性意味着宇宙表示成一系列的时间序列切片，$\Sigma_t$，每个切片代表一个三维空间，每个切片是均匀和各向同性的\textnote{见图1.2}。
这时，四维时空线元可以写成
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} t^2-a^2(t) \mathrm{d} \ell^2,
\end{equation}
其中，$\mathrm{d} \ell^2 \equiv \gamma_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j$是具有最高对称性的3维空间中的线元，尺度因子$a(t)$描述了宇宙的膨胀。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.43\linewidth]{picture/0009.svg}
	\caption{宇宙时空可以被分为平坦的、正弯曲的或负弯曲的空间超曲面。
	}
\end{figure}


\subsection{对称三维空间}


我们从具有最大对称性的3维空间的分类开始。
首先，我们注意到均匀的和各向同性的3空间具有恒定的3曲率。\footnote{后面我们会给出黎曼曲率的精确定义。}
只有三种可能的情况：零曲率$\left(\mathrm{E}^3\right)$、正曲率$\left(\mathrm{S}^3\right)$和负曲率$\left(\mathrm{H}^3\right)$。它们对应的线元为
\begin{equation}
	\mathrm{d} \ell^2=\frac{\mathrm{d} r^2}{1-k r^2}+r^2 \underbrace{\left(\mathrm{d} \theta^2+\sin ^2 \theta \mathrm{d} \phi^2\right)}_{\equiv \mathrm{d} \Omega^2}, \quad \text { where } \quad k=\left\{
	\begin{array}
		{rc} 		0 & \mathrm{E}^3 \\ 		+1 & \mathrm{~S}^3 \\ 		-1 & \mathrm{H}^3 	
	\end{array}
	.\right. 
\end{equation}




\begin{derivation}
让我们来确定每一种情况的度规：
\begin{itemize}
	\item 
平直空间：三维欧几里得空间$\mathrm{E}^3$的线元非常简单
\begin{equation}
	\mathrm{d} \ell^2=\mathrm{d} \boldsymbol{x}^2=\delta_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j 	
\end{equation}
线元在空间平移\textnote{$x^i \mapsto x^i+a^i$，$a^i$为常量}
和旋转\textnote{$x^i \mapsto R_k^i x^k$，有$\delta_{i j} R_k^i R_l^j=\delta_{k l}$}下显然是不变的。

\item 
正曲率空间：具有恒定正曲率的3空间可以表示为嵌入在四维欧氏空间$E^4$中的3维球面$S^3$
\begin{equation}
	\mathrm{d} \ell^2=\mathrm{d} \boldsymbol{x}^2+\mathrm{d} u^2, \quad \boldsymbol{x}^2+u^2=a^2,
\end{equation}
其中$a$是3维球面的半径。
三维球面的均匀性和各向同性继承自线元在四维旋转下的对称性。



\item 
负曲率空间：具有恒定负曲率的3空间可以表示为嵌入四维洛伦兹空间$\mathbb{R}^{1,3}$中的三维双曲面$H^3$
\begin{equation}
	\mathrm{d} \ell^2=\mathrm{d} \boldsymbol{x}^2-\mathrm{d} u^2, \quad \boldsymbol{x}^2-u^2=-a^2, 
\end{equation}
其中$a^2$是任意常数。
在双曲面上诱导出的几何均匀性和各向同性，来自于四维雁转动下的线元素的对称性\textnote{即洛伦兹变换，$u$扮演时间的角色}。

\end{itemize}
在最后两种情况中，重新标度坐标是方便的，$\boldsymbol{x} \rightarrow a \boldsymbol{x}$和$u \rightarrow a u$。球面和双曲面的线元素可写为
\begin{equation}
	\mathrm{d} \ell^2=a^2\left[\mathrm{~d} \boldsymbol{x}^2 \pm \mathrm{d} u^2\right], \quad \boldsymbol{x}^2 \pm u^2=\pm 1 . 
\end{equation}
注意到，坐标$\boldsymbol{x}$和$u$现在是无量纲的，而参数$a$带有长度量纲。
嵌入条件的有点变化，$\boldsymbol{x}^2 \pm u^2=\pm 1$，得到$u \mathrm{~d} u=\mp \boldsymbol{x} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{x}$，因此有
\begin{equation}
	\mathrm{d} \ell^2=a^2\left[\mathrm{~d} \boldsymbol{x}^2 \pm \frac{(\boldsymbol{x} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{x})^2}{1 \mp \boldsymbol{x}^2}\right] . 
\end{equation}
我们可以将（1.1.12）式与欧氏线元（1.1.8）式统一起来，如下
\begin{equation}
	\mathrm{d} \ell^2=a^2\left[\mathrm{~d} \boldsymbol{x}^2+k \frac{(\boldsymbol{x} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{x})^2}{1-k \boldsymbol{x}^2}\right], \quad \text { for } \quad k \equiv 
	\begin{cases}
		0 & \mathrm{E}^3 \\ +1 & \mathrm{~S}^3 \\ -1 & \mathrm{H}^3
	\end{cases}
\end{equation}
注意到，为了在$\boldsymbol{x}=0$处得到$\mathrm{d} \ell^2$的正值，我们必须取$a^2>0$，于是$\mathrm{d} \ell^2>0$处处成立。
使用球坐标系$(r, \theta, \phi)$是很方便的，可将空间的对称性明显表示出来。
使用
\begin{align}
		\begin{split}
		\mathrm{d} \boldsymbol{x}^2 & =\mathrm{d} r^2+r^2\left(\mathrm{~d} \theta^2+\sin ^2 \theta \mathrm{d} \phi^2\right),  
	\end{split}\\
\begin{split}
				\boldsymbol{x} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{x} & =r \mathrm{~d} r 
\end{split}				
\end{align}
在（1.1.13）中的度规变为对角的了
\begin{equation}
	\mathrm{d} \ell^2=a^2\left[\frac{\mathrm{d} r^2}{1-k r^2}+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2\right], 
\end{equation}
其中$\mathrm{d} \Omega^2 \equiv \mathrm{d} \theta^2+\sin ^2 \theta \mathrm{d} \phi^2$。




\end{derivation}
\begin{exercise}
说明（1.1.7）中 出现的$r=0$的点，它并不特殊。
\end{exercise}


\subsection{Robertson--Walker 度规}

将（1.1.7）代入（1.1.6），
我们得到极坐标系下的Robertson--Walker度规\footnote{有时这也被称为Friedmann--Robertson--Walker\textnote{FRW}度规。}：
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} t^2-a^2(t)\left[\frac{\mathrm{d} r^2}{1-k r^2}+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2\right] . 
\end{equation}
注意到，宇宙的对称性已经将时空度规的十个独立分量减少为一个时间函数\textnote{比例因子$a(t)$}
和一个常数\textnote{曲率参数$k$}。
\begin{itemize}
	\item 
	线元（1.1.17）具有重新标度的对称性
	\begin{equation}
		a \rightarrow \lambda a, \quad r \rightarrow r / \lambda, \quad k \rightarrow \lambda^2 k
	\end{equation}
这意味着，如果我们像（1.1.18）中那样同时重新标度$a $，$  r$和$k$，那么时空的几何结构将保持不变。
我们可以使用这种自由度将标度因子如今的值设置为：\footnote{在当前时间$ t_0 $作量的计算时，将带有下标“0”。} 
$a\left(t_0\right) \equiv 1$。在这种情况下，$a(t)$变为无量纲，$r$和$k^{-1 / 2}$继承了长度的量纲。




\item 
坐标$r$称为共运动坐标。物理的结果仅取决于物理坐标$r_{\text {phys }}=a(t) r$
\textnote{见图1.3}。一个物体的物理速度为
\begin{equation}
	v_{\text {phys }} \equiv \frac{d r_{\text {phys }}}{d t}=a(t) \frac{d r}{d t}+\frac{d a}{d t} r \equiv v_{\text {pec }}+H r_{\text {phys }} . 
\end{equation}
我们看到此处有两种贡献：一种是所谓的本动速度，$v_{\text {pec }} \equiv a(t) \dot{r}$，另一种是哈勃流，$H r_{\text {phys }}$，我们将哈勃参数定义为\footnote{在这里以及下文中，加点表示时间的导数，即$\dot{a} \equiv d a / d t$。}
\begin{equation}
	H \equiv \frac{\dot{a}}{a} . 
\end{equation}
物体的本动速度是由共动观测者\textnote{即跟随哈勃流一起运动的观测者}所测量到的速度。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.83\linewidth]{picture/0011.svg}
	\caption{宇宙的膨胀。在假想坐标网格上各点间的共动距离，在宇宙的膨胀中保持常数。
		物理距离正比于共移动距离乘以标度因子$ a(t) $，因此随着时间的推移物理距离逐渐变大。
	}
\end{figure}


\item 
在（1.1.17）中$g_{r r}$分量有点复杂，不太方便。在这种情况下，我们可以重新定义径向坐标$\mathrm{d} \chi \equiv \mathrm{d} r / \sqrt{1-k r^2}$，有
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} t^2-a^2(t)\left[\mathrm{d} \chi^2+S_k^2(\chi) \mathrm{d} \Omega^2\right],
\end{equation}
其中
\begin{equation}
	S_k(\chi) \equiv \frac{1}{\sqrt{k}}\left\{\begin{array}{cl}
		\sinh (\sqrt{k} \chi) & k<0 \\
		\sqrt{k} \chi & k=0 \\
		\sin (\sqrt{k} \chi) & k>0
	\end{array}\right.
\end{equation}



\item 
通常引入共形时间是很有用的
\begin{equation}
	\mathrm{d} \eta=\frac{\mathrm{d} t}{a(t)},
\end{equation}
从而（1.1.21）变为
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=a^2(\eta)\left[\mathrm{d} \eta^2-\left(\mathrm{d} \chi^2+S_k^2(\chi) \mathrm{d} \Omega^2\right)\right] .
\end{equation}
我们看到，该度规已经分解为一个静止的度规乘以一个时间依赖共形因子$a(\eta)$。
这种形式的度规对于研究光的传播是特别方便的。

\end{itemize}


\section{运动学}

\subsection{测地线}
在本节中，我们将研究粒子在FRW时空中的演化。然而，先让我们来看一个比较简单的问题，自由粒子的牛顿动力学。在笛卡尔坐标系中，简单的有
\begin{equation}
	\frac{d^2 x^i}{d t^2}=0 
\end{equation}
我们想知道对于一个任意坐标系这个方程会变成什么，此时三维的度规$g_{i j} \neq \delta_{i j}$。为了导出这些坐标系中的运动方程，我们从自由粒子的拉格朗日量开始
\begin{equation}
	L=\frac{m}{2} g_{i j}\left(x^k\right) \dot{x}^i \dot{x}^j . 
\end{equation}
将其代入欧拉--拉格朗日方程中\textnote{见下文}，我们会发现
\begin{equation}
	\frac{d^2 x^i}{d t^2}=-\Gamma_{a b}^i \frac{d x^a}{d t} \frac{d x^b}{d t}, 
\end{equation}
其中引入了Christoffel符号
\begin{equation}
	\Gamma_{a b}^i \equiv \frac{1}{2} g^{i j}\left(\partial_a g_{j b}+\partial_b g_{a j}-\partial_j g_{a b}\right), \quad \text { with } \quad \partial_j \equiv \partial / \partial x^j 
\end{equation}




\begin{derivation}
欧拉--拉格朗日方程为
\begin{equation}
	\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^k}\right)=\frac{\partial L}{\partial x^k} 	
\end{equation}
代入（1.2.26）求导得
\begin{align}
	\begin{split}
		\frac{\partial L}{\partial x^k} & =\frac{1}{2} \partial_k g_{i j} \dot{x}^i \dot{x}^j, 
	\end{split}\\
\begin{split}
		 	\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^k} & =g_{i k} \dot{x}^i, 
		 	\end{split}	
\end{align}
由于两边的质量$ m $能够消去，故设$m \equiv 1$，$(1.2 .29)$的右边变为
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^k}\right)=\frac{d}{d t}\left(g_{i k} \dot{x}^i\right) & =g_{i k} \ddot{x}^i+\frac{d x^j}{d t} \frac{\partial g_{i k}}{\partial x^j} \dot{x}^i \\
		& =g_{i k} \ddot{x}^i+\partial_j g_{i k} \dot{x}^i \dot{x}^j \\
		& =g_{i k} \ddot{x}^i+\frac{1}{2}\left(\partial_i g_{j k}+\partial_j g_{i k}\right) \dot{x}^i \dot{x}^j .
	\end{aligned}
\end{equation}
方程（1.2.29）意味着
\begin{equation}
	g_{k i} \ddot{x}^i=-\frac{1}{2}\left(\partial_i g_{j k}+\partial_j g_{i k}-\partial_k g_{i j}\right) \dot{x}^i \dot{x}^j 
\end{equation}
两边同乘以$g^{l k}$，我们得到
\begin{equation}
	\ddot{x}^l=-\frac{1}{2} g^{l k}\left(\partial_i g_{j k}+\partial_j g_{i k}-\partial_k g_{i j}\right) \dot{x}^i \dot{x}^j \equiv-\Gamma_{i j}^l \dot{x}^i \dot{x}^j,
\end{equation}
这就是（1.2.27）式期望的结果。




\end{derivation}
广义相对论中大质量物体的运动方程与（1.2.27）的形式类似。
然而，在这种情况下，涉及Christoffel符号的项不能够通过使用笛卡尔坐标系来消除，这是时空曲率的物理表现。



\subsubsection{测地线方程$ {}^{*} $}

在除了引力外不受其它力的情况下，在弯曲时空中自由下落的粒子沿着一条称为测地线的特殊轨道运动。
对于大质量物体，测地线是一条类时曲线$X^\mu(\tau)$，它使得时空中两点之间的固有时间$\Delta \tau$取极值。在附录A中，我证明了该极值路径满足测地线方程
\begin{equation}
	\frac{d^2 X^\mu}{d \tau^2}=-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu \frac{d X^\alpha}{d \tau} \frac{d X^\beta}{d \tau}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
	\Gamma_{\alpha \beta}^\mu \equiv \frac{1}{2} g^{\mu \lambda}\left(\partial_\alpha g_{\beta \lambda}+\partial_\beta g_{\alpha \lambda}-\partial_\lambda g_{\alpha \beta}\right) \text {. }
\end{equation}
注意到，方程（1.2.35）和（1.2.27）之间的相似性。这有几种不同的方式可以方便的写出测地线方程：
\begin{itemize}
	\item 
引入粒子的四速度，$U^\mu \equiv d X^\mu / d \tau$，我们得到
\begin{equation}
	\frac{d U^\mu}{d \tau}=-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu U^\alpha U^\beta
\end{equation}
使用链式法则
\begin{equation}
	\frac{d}{d \tau} U^\mu\left(X^\alpha(\tau)\right)=\frac{d X^\alpha}{d \tau} \frac{\partial U^\mu}{\partial X^\alpha}=U^\alpha \frac{\partial U^\mu}{\partial X^\alpha},
\end{equation}
我们也可以将其写成
\begin{equation}
	U^\alpha\left(\frac{\partial U^\mu}{\partial X^\alpha}+\Gamma_{\alpha \beta}^\mu U^\beta\right)=0
\end{equation}
括号中的项是四速度$U^\mu$的协变导数，即$\nabla_\alpha U^\mu \equiv \partial_\alpha U^\mu+$ $\Gamma_{\alpha \beta}^\mu U^\beta$。这使得我们可以用以下巧妙的方式写出测地线方程：
\begin{equation}
	U^\alpha \nabla_\alpha U^\mu=0 \text {. }
\end{equation}
在GR课程中，通过考虑平行移动，可以直接导出测地线方程的这种形式。



\item 
使用关于大质量物体的四动量定义，$P^\mu=m U^\mu$，我们可以将（1.2.40）写为
\begin{equation}
	P^\alpha \nabla_\alpha P^\mu=0 \quad \text { or } \quad P^\alpha \frac{\partial P^\mu}{\partial X^\alpha}=-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu P^\alpha P^\beta \text {. }
\end{equation}
这种形式的测地线方程很有用，因为它也可应用于无质量的粒子。


\end{itemize}
我将给您展示如何将测地线方程（1.2.41）应用于FRW度规宇宙中的粒子身上。


\subsubsection{ 膨胀宇宙中的粒子}

为了求（1.2.41）的右边.，我们需要计算FRW度规下的Christoffel符号，
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} t^2-a^2(t) \gamma_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j .
\end{equation}
Christoffel符号中，所有具有两个时间指标的分量都为零，即$\Gamma_{00}^\mu=\Gamma_{0 \beta}^0=0$。仅有的非零分量是
\begin{equation}
	\Gamma_{i j}^0=a \dot{a} \gamma_{i j}, \quad \Gamma_{0 j}^i=\frac{\dot{a}}{a} \delta_j^i, \quad \Gamma_{j k}^i=\frac{1}{2} \gamma^{i l}\left(\partial_j \gamma_{k l}+\partial_k \gamma_{j l}-\partial_l \gamma_{j k}\right),
\end{equation}
或者通过对称性把它们联系起来（注意到$\Gamma_{\alpha \beta}^\mu=\Gamma_{\beta \alpha}^\mu$）。我把$\Gamma_{i j}^0$的推导作为示例，剩下的$\Gamma_{0 j}^i$作为练习。

\begin{example}
Christoffel符号中上指标为零的分量是
\begin{equation}
	\Gamma_{\alpha \beta}^0=\frac{1}{2} g^{0 \lambda}\left(\partial_\alpha g_{\beta \lambda}+\partial_\beta g_{\alpha \lambda}-\partial_\lambda g_{\alpha \beta}\right)
\end{equation}
对$g^{0 \lambda}$因子，当$\lambda=0$时，$g^{0 1}$等于1，其余情况为零。
因此，
\begin{equation}
	\Gamma_{\alpha \beta}^0=\frac{1}{2}\left(\partial_\alpha g_{\beta 0}+\partial_\beta g_{\alpha 0}-\partial_0 g_{\alpha \beta}\right) .
\end{equation}
前两项将简化为$g_{00}$的导数\textnote{因为$g_{i 0}=0$}。FRW度规的$g_{00}$分量是个常数，因此前两项变为零，还剩下
\begin{equation}
	\Gamma_{\alpha \beta}^0=-\frac{1}{2} \partial_0 g_{\alpha \beta} .
\end{equation}
只有当$\alpha$和$\beta$是空间指标$g_{i j}=-a^2 \gamma_{i j}$\textnote{不要漏掉负号！}时，导数才不为零。这样的话，我们有
\begin{equation}
	\Gamma_{i j}^0=a \dot{a} \gamma_{i j}
\end{equation}





\end{example}

FRW度规背景下的均匀性意味着$\partial_i P^\mu=0$，因此测地线方程（1.2.41）化简为
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		P^0 \frac{d P^\mu}{d t} & =-\Gamma_{\alpha \beta}^\mu P^\alpha P^\beta \\
		& =-\left(2 \Gamma_{0 j}^\mu P^0+\Gamma_{i j}^\mu P^i\right) P^j,
	\end{aligned}
\end{equation}
在第二行中使用了（1.2.43）式。
\begin{itemize}
	\item 
从（1.2.48）中首先注意到，在共动框架下静止的粒子将保持静止，$P^j=0$，这从方程右边可以看出。得到
\begin{equation}
	P^j=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d P^i}{d t}=0 .
\end{equation}



\item 
接下来，我们考虑（1.2.48）式$\mu=0$的分量，不要求粒子处于静止状态。由于$\Gamma_{0 j}^0=0$，右边的第一项消失。使用（1.2.43），我们有
\begin{equation}
	E \frac{d E}{d t}=-\Gamma_{i j}^0 P^i P^j=-\frac{\dot{a}}{a} p^2,
\end{equation}
其中，我们定义$P^0 \equiv E$，并将物理的三动量振幅定义为
\begin{equation}
	p^2 \equiv-g_{i j} P^i P^j=a^2 \gamma_{i j} P^i P^j .
\end{equation}
请注意（1.2.51）中出现的标度因子，它来自FRW度规空间部分缩并，$g_{i j}=-a^2 \gamma_{i j}$。
四动量的分量满足约束条件$g_{\mu \nu} P^\mu P^\nu=m^2$或者$E^2-p^2=m^2$，对于无质量粒子右边部分消失。
由此得到$E \mathrm{~d} E=p \mathrm{~d} p$，因此（1.2.50）可以写成
\begin{equation}
	\frac{\dot{p}}{p}=-\frac{\dot{a}}{a} \quad \Rightarrow \quad p \propto \frac{1}{a} .
\end{equation}
我们看到，任何粒子\textnote{无论是有质量还是无质量}的物理三动量都会随着宇宙的膨胀而衰减。
\begin{itemize}
	\item 
对于无质量粒子，方程式（1.2.52）表示
\begin{equation}
	p=E \propto \frac{1}{a} \quad \text { (massless particles )}
\end{equation}
即无质量粒子的能量随膨胀而衰减。


\item 
对于有质量粒子，方程式（1.2.52）表示
\begin{equation}
	p=\frac{m v}{\sqrt{1-v^2}} \propto \frac{1}{a} \quad \text { (massive particles) }
\end{equation}
其中$v^i=d x^i / d t$是粒子的共动的本动速度\textnote{即相对于共动标架的速度}，$v^2 \equiv a^2 \gamma_{i j} v^i v^j$是物理的本动速度大小，可参见（1.1.19）式。
为了得到（1.2.54）中的第一个等式，我使用了
\begin{equation}
	P^i=m U^i=m \frac{d X^i}{d \tau}=m \frac{d t}{d \tau} v^i=\frac{m v^i}{\sqrt{1-a^2 \gamma_{i j} v^i v^j}}=\frac{m v^i}{\sqrt{1-v^2}} .
\end{equation}
方程（1.2.54）表明，自由下落的粒子可自行汇聚到哈勃流上。

\end{itemize}


\end{itemize}










\subsection{红移}

今天我们所知道的关于宇宙的一切，都是通过接收遥远物体发出的光，从光中推断出来的。
从遥远星系发出的光可以被看见，从量子力学的角度来说是由于光子的自由传播，或者经典地讲是由于电磁波的传播。
为了正确解释观测结果，我们需要考虑，由于宇宙的膨胀会导致光的波长被拉伸\textnote{或者等价的说成光子失去能量}。现在让我们来量化这种效应。




光子。---在量子力学描述中，光的波长与光子的动量成反比，$\lambda=h / p$。
根据（1.2.53），光子的动量随$a(t)^{-1}$变化，因此波长变化的比例是$a(t)$。
在时间$t_1$发出的波长为$\lambda_1$的光在$t_0$处接收到，此时波长为
\begin{equation}
	\lambda_0=\frac{a\left(t_0\right)}{a\left(t_1\right)} \lambda_1 .
\end{equation}
由于$a\left(t_0\right)>a\left(t_1\right)$，光的波长在增加，$\lambda_0>\lambda_1$。




经典的波。---将光作为经典电磁波来处理，我们可以得到相同的结果。
考虑一个固定在共动距离为$d$的星系。
在$\eta_1$时刻，星系发出一个光信号，持续的共形时间为$\Delta \eta$。
在$\eta_0=\eta_1+d$时刻光线到达我们的望远镜。
探测器测量到信号的共形持续时间与信号源处的相同，
但发射和探测点上的物理时间间隔是不同的，
\begin{equation}
	\Delta t_1=a\left(\eta_1\right) \Delta \eta \quad \text { and } \quad \Delta t_0=a\left(\eta_0\right) \Delta \eta
\end{equation}
如果$\Delta t$是光波的周期，则发射时光的波长为$\lambda_1=\Delta t_1$\textnote{在自然单位制下$c=1$}，而接收到的光波长为$\lambda_0=\Delta t_0$，因此有
\begin{equation}
	\frac{\lambda_0}{\lambda_1}=\frac{a\left(\eta_0\right)}{a\left(\eta_1\right)} .
\end{equation}




红移。---通常，我们将红移参数定义为遥远星系之光在发射$t_1$时刻的波长与当今地球上观测到的波长差之比，
\begin{equation}
	z \equiv \frac{\lambda_0-\lambda_1}{\lambda_1}
\end{equation}
然后我们有
\begin{equation}
	1+z=\frac{a\left(t_0\right)}{a\left(t_1\right)} .
\end{equation}
通常也把$ a\left(t_0\right) $定义为$a\left(t_0\right) \equiv 1$，因此有
\begin{equation}
	1+z=\frac{1}{a\left(t_1\right)} \text {. }
\end{equation}








哈勃定律。---对于邻近的源，我们可把$a\left(t_1\right)$展开为幂级数形式，
\begin{equation}
	a\left(t_1\right)=a\left(t_0\right)\left[1+\left(t_1-t_0\right) H_0+\cdots\right],
\end{equation}
其中$H_0$是哈勃常数
\begin{equation}
	H_0 \equiv \frac{\dot{a}\left(t_0\right)}{a\left(t_0\right)} .
\end{equation}
方程（1.2.60）给出$z=H_0\left(t_0-t_1\right)+\cdots$。
对于邻近的对象，$t_0-t_1$可直接表示为物理距离$d$\textnote{取$c=1$为单位}。因此，我们发现红移随距离线性增加
\begin{equation}
	z \simeq H_0 d .
\end{equation}


因此，通过红移--距离图像中的斜率\textnote{参见图1.6}，可以测量当今宇宙的膨胀率，$H_0$。
这些测量结果曾经有着非常大的不确定性。
由于$H_0$刻画了其它的所有内容\textnote{见下文}，因此通常将其定义为\footnote{1秒差距$(\mathrm{pc})$约为$3.26$光年。（1.2.65）中的有趣的单位来自于天文学家。
}
\begin{equation}
	H_0 \equiv 100 h \mathrm{kms}^{-1} \mathrm{Mpc}^{-1},
\end{equation}
其中参数$h$，用于追踪$H_0$中的不确定性如何传播到其他宇宙学参数中。
今天，$H_0$的测量已变得相当精确，\footnote{普朗克卫星2015的结果：Cosmological Parameters [arXiv:1502.01589]。}
\begin{equation}
	h \approx 0.67 \pm 0.01
\end{equation}






\subsection{距离}

对于遥远的物体，我们必须更加小心地对待我们所说的“距离”：
\begin{itemize}
	\item 
	度规距离。---我们首先定义一个距离，它不是真正可观察的，但这将有助于定义可观察的距离。
	考虑（1.1.21）形式下的FRW度规，
	\begin{equation}
		\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} t^2-a^2(t)\left[\mathrm{d} \chi^2+S_k^2(\chi) \mathrm{d} \Omega^2\right],
	\end{equation}
	其中\footnote{注意到，在我们选择无量纲的标度因子后，$a\left(t_0\right) \equiv 1$，$S_k(\chi)$的定义将包含一项长度标度$R_0$。
	这是通过使用重标度对称性来实现，$a \rightarrow \lambda a $，$  \chi \rightarrow \chi / \lambda$和$S_k^2 \rightarrow S_k^2 / \lambda$。
	}
\begin{equation}
	S_k(\chi) \equiv\left\{\begin{aligned}
		R_0 \sinh \left(\chi / R_0\right) & & k=-1 \\
		\chi & k & =0 \\
		R_0 \sin \left(\chi / R_0\right) & & k=+1
	\end{aligned}\right.
\end{equation}
这个距离乘以立体角元$\mathrm{d} \Omega^2$后就是度规距离，
\begin{equation}
	d_m=S_k(\chi) .
\end{equation}
在平直宇宙\textnote{$k=0$}中，度规距离简单地等于共动距离$\chi$。
我们与红移为$z$的星系之间的共动距离可以写成
\begin{equation}
	\chi(z)=\int_{t_1}^{t_0} \frac{\mathrm{d} t}{a(t)}=\int_0^z \frac{\mathrm{d} z}{H(z)},
\end{equation}
其中红移随着哈勃参数的演化，而哈勃参数$H(z)$，取决于宇宙的物质内容\textnote{见$ \S 1.3 $}。
我们强调共动距离和度规距离都是不可观测的。



\item 
光度距离。---IA型超新星被称为“标准烛光”，是因为它们被认为是已知绝对光度为$L$\textnote{=每秒发射的能量}的天体。
从超新星爆发中观测到的通量$F$\textnote{=每单位接收面积上每秒的能量}，可以用来推断其\textnote{光度}距离。
考虑在固定共动距离$\chi$处的一个源。在静态欧几里得空间中，绝对光度与观测通量之间的关系为
\begin{equation}
	F=\frac{L}{4 \pi \chi^2} .
\end{equation}
在FRW度规时空中，由于下面三个原因将对该结果进行修改：
\begin{enumerate}
	%\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
	% A(\Alph) a(\alph) I(\Roman) i(\roman) 1(\arabic)
	%设定全局标号series=example	%引用全局变量resume=example
	%[topsep=-0.3em,parsep=-0.3em,itemsep=-0.3em,partopsep=-0.3em]
	%可使用leftmargin调整列表环境左边的空白长度 [leftmargin=0em]
	\item
	在$t_0$时刻光到达地球，围绕超新星作一过地球的球面，球面的固有面积为$4 \pi d_m^2$。
	因此，孔径为$A$的望远镜接收到的光占总光的比例为$A / 4 \pi d_m^2$。
	
	\item 
	光子的到达率小于红移$1 /(1+z)$处光子的发射率。
	

	\item 
	光子被接收到的能量 $ E_0 $ 小于在相同红移$1 /(1+z)$处光子发射的能量$E_1$ 。
	
	
	
	
	
\end{enumerate}
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.53\linewidth]{picture/0018-1.svg}
	\caption{光度距离定义的几何图像。
	}
\end{figure}
因此，对在坐标距离$\chi$和红移$z$处光度为$L$的超新星光源，观测通量的正确公式为
\begin{equation}
	F=\frac{L}{4 \pi d_m^2(1+z)^2} \equiv \frac{L}{4 \pi d_L^2},
\end{equation}
其中，我们定义了光度距离$d_L$，因此光度、通量和光度距离之间的关系与（1.2.71）相同。因此，我们有如下关系
\begin{equation}
	d_L=d_m(1+z) .
\end{equation}





\item 
角直径距离。---有时候我们可以使用“标准标尺”，即已知实际物理尺寸为$D$的天体\textnote{例如，CMB中的涨落就是这种情况}。

让我们再次假设该天体处于共动距离$\chi$，并且我们今天观察到的光子是在$t_1$时刻发出的。
天文学家可以决定通过测量天体的角度大小$\delta \theta$来测量天体的距离$d_A$，在欧氏空间中该距离公式为
\footnote{这个公式假设对于所有宇宙中的天体都有$\delta \theta \ll 1$\textnote{以弧度为单位}。}
\begin{equation}
	d_A=\frac{D}{\delta \theta} .
\end{equation}
此量被称为角直径距离。
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.53\linewidth]{picture/0018-2.svg}
	\caption{与角直径距离定义相关的几何图形。
	}
\end{figure}
在（1.1.24）中的FRW度规下，天空中物体的物理\textnote{横向}大小与其角度大小之间有如下关系
\begin{equation}
	D=a\left(t_1\right) S_k(\chi) \delta \theta=\frac{d_m}{1+z} \delta \theta
\end{equation}
因此，我们得到
\begin{equation}
	d_A=\frac{d_m}{1+z} .
\end{equation}
角直径距离测量的是现在的我们与物体光发出时的距离。
我们看到角直径距离和光度距离不独立的，关系如下
\begin{equation}
	d_A=\frac{d_L}{(1+z)^2}
\end{equation}




\end{itemize}
图$1.6$显示了红移对三种测量距离$d_m, d_L$和$d_A$的依赖性。
注意到，在有暗能量\textnote{以宇宙常数$\Lambda$的形式存在}的宇宙中，这三个距离都比没有暗能量时的大。
暗能量的发现也是来自于这一事实\textnote{见 $\S 1.3 .3$的图$1.7$}。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.63\linewidth]{picture/0019.svg}
	\caption{平直宇宙中距离的测量，只有物质\textnote{虚线}和有$70 \%$的暗能量\textnote{实线}。在暗能量主导的宇宙中，某固定红移点处测得的距离比在物质主导宇宙中测得的距离大。
	}
\end{figure}








\section{动力学}

宇宙的动力学由爱因斯坦方程决定
\begin{equation}
	G_{\mu \nu}=8 \pi G T_{\mu \nu} .
\end{equation}
这个方程将爱因斯坦张量$G_{\mu \nu}$\textnote{FRW宇宙“时空曲率”的度量}与应力--能量张量$T_{\mu \nu}$\textnote{宇宙“物质内容”的度量}联系了起来。
我们将首先讨论宇宙的应力--能量张量$T_{\mu \nu}$的可能形式\textnote{$ \S  1.3.1 $}，然后计算FRW背景时空的爱因斯坦张量$G_{\mu \nu}$\textnote{$ \S  1.3.2 $}，最后将它们放在一起，以此来解决与物质内容相关的标度因子函数$a(t)$随时间的演化问题\textnote{$\S 1.3.3$}。

\subsection{物质源}


我们首先表明，各向同性和均匀性的要求迫使粗糙的应力--能量张量成为\textnote{光滑}理想流体型的，
\begin{equation}
	T_{\mu \nu}=(\rho+P) U_\mu U_\nu-P g_{\mu \nu},
\end{equation}
其中$\rho$和$P$分别是理想流体的能量密度和压强，$U^\mu$是\textnote{理想流体相对于观察者的}四速度。

\subsubsection{数密度}

事实上，在我们前往应力--能量张量前，我们先研究一个更简单的对像：数流四矢量$N^\mu$。
$\mu=0$的分量$，N^0$，是粒子数密度的度量，我们这里所说的“粒子”指得是整个星系。
$\mu=i$的分量，$N^i$，是粒子在$x^i$方向上的流量。
各向同性要求任何3矢量的平均值必须为零，如$N^i$；而均匀性要求任何3标量\footnote{ 一个$ 3$标量是这么一个量，在纯空间的坐标变换下不变。}的平均值只能是时间的函数，如$ N^{0} $。
因此，由共运观测者对当前星系测量得到的数流四矢量，具有以下分量
\begin{equation}
	N^0=n(t), \quad N^i=0
\end{equation}
其中$n(t)$是由共运观察者测量到的每单位固有体积中的星系数目。
一般观测者\textnote{即相对于粒子的平均静止参考系运动的观测者}将测量到如下数流四矢量
\begin{equation}
	N^\mu=n U^\mu,
\end{equation}
其中$U^\mu \equiv d X^\mu / d \tau$是粒子与观测者之间的相对四速度。
当然，我们复原了先前（1.3.80）式中共动观察者的结果，$U^\mu=(1,0,0,0)$。
对于$U^\mu=\gamma\left(1, v^i\right)$，方程（1.3.81）给出了伪转动下的正确结果。
例如，您可能还记得，数密度的伪转动变换是$\gamma n$。\textnote{数量密度增加是因为体积的一个维度是洛伦兹收缩的}



粒子的数目必须守恒。在Minkowski空间中，这意味着数密度的演化需要满足连续性方程
\begin{equation}
	\dot{N}^0=-\partial_i N^i,
\end{equation}
或者，用相对论中的符号表示为
\begin{equation}
	\partial_\mu N^\mu=0 .
\end{equation}
通过将偏导数$\partial_\mu$替换为协变导数$\nabla_\mu$，\footnote{协变导数是微分几何中的一个重要对象，在广义相对论中具有根本重要性。关于$\nabla_\mu$的几何含义将在GR课程中详细讨论。在本课程中，我们仅满足于将其视为一个以特定方式作用于标量、向量和张量的算子。
}
方程（1.3.83）可推广到弯曲时空中
\begin{equation}
	\nabla_\mu N^\mu=\partial_\mu N^\mu+\Gamma_{\mu \lambda}^\mu N^\lambda=0 .
\end{equation}
使用（1.3.80），这将变为
\begin{equation}
	\frac{d n}{d t}+\Gamma_{i 0}^i n=0
\end{equation}
代入（1.2.43），我们得到
\begin{equation}
	\frac{\dot{n}}{n}=-3 \frac{\dot{a}}{a} \quad \Rightarrow \quad n(t) \propto a^{-3} .
\end{equation}
正如预期的那样，数密度的减少比于固有体积的增加。






\subsubsection{能动张量}

现在，我们将使用类似的逻辑来确定应力--能量张量$T_{\mu \nu}$的形式，使其符合均匀性和各向同性的要求。
首先，我们把$T_{\mu \nu}$分解为3标量$T_{00}$、3矢量$T_{i 0}$和$T_{0 j}$、以及3张量$T_{i j}$。
跟前面一样，各向同性要求3向量的平均值为零，即$T_{i 0}=T_{0 j}=0$。
此外，点$\boldsymbol{x}=0$周围的各向同性要求任何3张量的平均值在该点上与$\delta_{i j}$成正比，例如$T_{i j}$，因此也与$T_{\mu \nu}$成正比，在$\boldsymbol{x}=0$处等于$-a^2 \delta_{i j}$，
\begin{equation}
	T_{i j}(\boldsymbol{x}=0) \propto \delta_{i j} \propto g_{i j}(\boldsymbol{x}=0) .
\end{equation}
均匀性要求比例系数仅是时间的函数。
由于这是两个3张量\textnote{$T_{i j}$和$g_{i j}$}之间的比例关系，因此它必须保持不受任意空间坐标变换的影响，包括那些在将原点移动到任何其他点时保持$g_{i j}$形式不变的变换。
因此，均匀性和各向同性要求应力--能量张量分量在每点处采取以下形式
\begin{equation}
	T_{00}=\rho(t), \quad \pi_i \equiv T_{i 0}=0, \quad T_{i j}=-P(t) g_{i j}(t, \boldsymbol{x})
\end{equation}
经上下指标变换后，有着更好的形式
\begin{equation}
	T^\mu{ }_{\nu}=g^{\mu \lambda} T_{\lambda \nu}=\left(\begin{array}{cccc}
		\rho & 0 & 0 & 0 \\
		0 & -P & 0 & 0 \\
		0 & 0 & -P & 0 \\
		0 & 0 & 0 & -P
	\end{array}\right) .
\end{equation}
这是共动的观察者所看到的理想流体的应力--能量张量形式。
更一般地，应力--能量张量可以明确的写为如下协变形式
\begin{equation}
	T^\mu{ }_\nu=(\rho+P) U^\mu U_\nu-P \delta_\nu^\mu,
\end{equation}
其中，$U^\mu \equiv d X^\mu / d \tau$是流体与观测者之间的相对四速度，而$\rho$和$P$是在同流体相对静止参考系中的能量密度和压强。
当然，我们恢复了先前的一个共动观察者（1.3.89）式的结果，$U^\mu=(1,0,0,0)$。



密度和压力是如何随时间变化的？在闵可夫斯基空间中，能量和动量都是守恒的。
因此，能量密度满足连续性方程$\dot{\rho}=-\partial_i \pi^i$，即密度的变化率等于能流的散度。
类似地，动量密度的演化满足欧拉方程，$\dot{\pi}_i=\partial_i P$。
这些守恒定律可以组合成关于应力--能量张量的一个四分量守恒方程
\begin{equation}
	\partial_\mu T_\nu^\mu=0 .
\end{equation}
在广义相对论中，这被推广成协变守恒方程
\begin{equation}
	\nabla_\mu T_\nu^\mu=\partial_\mu T_\nu^\mu+\Gamma_{\mu \lambda}^\mu T^\lambda{ }_\nu-\Gamma_{\mu \nu}^\lambda T_\lambda^\mu=0 .
\end{equation}
这对应于四个独立的方程\textnote{每个$\nu$值一个}。能量密度的演变由$\nu=0$的方程决定
\begin{equation}
	\partial_\mu T_0^\mu+\Gamma_{\mu \lambda}^\mu T_0^\lambda-\Gamma_{\mu 0}^\lambda T_\lambda^\mu=0 .
\end{equation}
由于$T^i{ }_0$因各向同性而为零，这将使其化简为
\begin{equation}
	\frac{d \rho}{d t}+\Gamma_{\mu 0}^\mu \rho-\Gamma_{\mu 0}^\lambda T_\lambda^\mu=0 .
\end{equation}
从等式（1.2.43）中，我们可以看到，除$\lambda$和$\mu$是彼此相等的空间指标外\textnote{此情况下，分量为$\dot{a} / a$}，$\Gamma_{\mu 0}^\lambda$均为零。
因此，连续性方程（1.3.94）被写为
\begin{equation}
	\dot{\rho}+3 \frac{\dot{a}}{a}(\rho+P)=0 \text {. }
\end{equation}

\begin{exercise}
	证明（1.3.95）可以写成$\mathrm{d} U=-P \mathrm{~d} V$，其中$U=\rho V$和$V \propto a^3$。
\end{exercise}




 
 

\subsubsection{宇宙清单}


宇宙由不同物质成分的混合物充满。
根据不同来源对压强的贡献，来对其进行分类是有用的：
\begin{itemize}
	\item 
	\textbf{物质}
	
	我们将使用“物质”这一术语，来指代压强远小于能量密度\textnote{$|P| \ll \rho$}的所有物质形式。
	我们将在第3章中证明，
	这是非相对论粒子气体\textnote{指能量密度由质量决定}的情况。设$P=0$，（1.3.95）给出
	\begin{equation}
		\rho \propto a^{-3} .
	\end{equation}
	这种能量密度的稀释仅仅反映在体积\textnote{$V \propto a^3$}的膨胀上。
\begin{itemize}
	\item 
	暗物质。
	宇宙中，大部分物质都是以看不见的暗物质形式存在。
	这通常被认为是一种新型的重粒子，但它到底是什么，我们不得而知。
	
	\item 
	重子。
	在宇宙学家眼中重子指得是普通物质\textnote{原子核和电子}。\footnote{当然，这在技术上是不正确的\textnote{电子是轻子}，但原子核比电子重得多，大部分质量集中在重子中。如果这个术语令你心烦，你应该问问你的天文学家朋友，他们所说的“金属”是什么意思。
	}
	
	
	
\end{itemize}

\item 
\textbf{辐射}


我们将使用术语“辐射”这一术语，来指代压强为能量密度三分之一\textnote{$P=\frac{1}{3} \rho$}的任何东西。
这是相对论性粒子气体的情况，其能量密度由动能决定\textnote{即动量远大于质量}。此时，方程式（1.3.95）意味着
\begin{equation}
	\rho \propto a^{-4} .
\end{equation}
这里包括了能量红移的稀释，$E \propto a^{-1}$。
\begin{itemize}
	\item 
光子。
早期宇宙由光子主导。
由于没有质量，它们总是相对论性的。
今天，我们以宇宙微波背景的形式探测到这些光子。

\item 
中微子。
在宇宙历史的大部分时间里，中微子表现的像辐射。
直到最近，中微子的小质量才表现出来，他们的行为才开始像物质。

\item 
重力子。
在宇宙早期，可能产生了引力子的背景\textnote{即引力波，见$\S 6.5$}。正在进行实验以检测它们。

\end{itemize}

\item 
\textbf{暗能量}

我们这前了解到物质与辐射都不足以描述宇宙的演化。
相反，今天的宇宙似乎是被一种神秘的负压强成份所支配，$P=-\rho$。
这跟我们在实验室中遇到的任何情况都不同。
特别是，从方程（1.3.95）中，我们发现这种物质的能量密度是个常数，
\begin{equation}
	\rho \propto a^0 .
\end{equation}
由于能量密度没被稀释，所以能量必须随着宇宙膨胀不断产生。
\footnote{在引力系统中，这不一定违反能量守恒。重要的是守恒方程（1.3.95）。
}
\begin{itemize}
	\item 
真空能量。
在量子场论中，这种效应实际上已被预测！真空的基态能量对应于以下应力--能量张量
\begin{equation}
	T_{\mu \nu}^{\mathrm{vac}}=\rho_{\mathrm{vac}} g_{\mu \nu} .
\end{equation}
比较方程（1.3.90），这确实意味着$P_{\mathrm{vac}}=-\rho_{\mathrm{vac}}$。
不幸的是，$\rho_{\mathrm{vac}}$预测值极其不对，
\begin{equation}
	\frac{\rho_{\mathrm{vac}}}{\rho_{\mathrm{obs}}} \sim 10^{120} .
\end{equation}
这个所谓的“宇宙常数问题”是现代理论物理学中的最大危机。

\item 
还有别的吗？
量子场论在观测到暗能量值上的解释失败，导致理论学家们考虑了更多奇特的可能性\textnote{如随时间变化的暗能量和修改广义相对论}。在我看来，这些想法都不太奏效。

\end{itemize}




\end{itemize}


\begin{omnipotent}{宇宙常数}
爱因斯坦方程（1.3.78）的左边不是唯一确定的。
我们可以在不改变应力张量守恒的情况下，$\nabla^\mu T_{\mu \nu}=0$\textnote{回想或检查$\nabla^\mu g_{\mu \nu}=0$}，添加一个$-\Lambda g_{\mu \nu}$项，$\Lambda$为某个常数。
换句话说，我们可以将爱因斯坦方程写成
\begin{equation}
	G_{\mu \nu}-\Lambda g_{\mu \nu}=8 \pi G T_{\mu \nu} .
\end{equation}
事实上，爱因斯坦曾添加过这样一项，并把它称之为宇宙常数。
然而，现在将该项移到右边，并在形式上将其视为应力--能量张量的贡献
\begin{equation}
	T_{\mu \nu}^{(\Lambda)}=\frac{\Lambda}{8 \pi G} g_{\mu \nu} \equiv \rho_{\Lambda} g_{\mu \nu} .
\end{equation}
这与真空能量方程（1.3.99）中的应力--能量张量有着相同形式。

\end{omnipotent}

\subsubsection{总结}


大多数宇宙学流体，都可以用恒定状态方程\textnote{$w=P / \rho$}作为参数表示出来。
这包括冷暗物质\textnote{$w=0$}、辐射\textnote{$w=1 / 3$}和真空能量\textnote{$w=-1$}。在这些情况下，方程（1.3.95）的解可以被写为
\begin{equation}
	\rho \propto a^{-3(1+w)}= \begin{cases}a^{-3} & \text { matter } \\ a^{-4} & \text { radiation } \\ a^0 & \text { vacuum }\end{cases}
\end{equation}









\subsection{时空曲率}




我们想把这些物质源与FRW度规中尺度因子的演化联系起来。
为此，我们需要计算爱因斯坦方程（1.3.78）左边的爱因斯坦张量，
\begin{equation}
	G_{\mu \nu}=R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} R g_{\mu \nu} .
\end{equation}
我们需要计算Ricci张量
\begin{equation}
	R_{\mu \nu} \equiv \partial_\lambda \Gamma_{\mu \nu}^\lambda-\partial_\nu \Gamma_{\mu \lambda}^\lambda+\Gamma_{\lambda \rho}^\lambda \Gamma_{\mu \nu}^\rho-\Gamma_{\mu \lambda}^\rho \Gamma_{\nu \rho}^\lambda
\end{equation}
以及Ricci标量
\begin{equation}
	R=R^\mu{ }_\mu=g^{\mu \nu} R_{\mu \nu}
\end{equation}
同样，这些定义背后有着很多美丽的几何。
我们仅保持即插即用的态度：给定（1.2.43）的Christoffel符号后，没有什么能阻止我们对（1.3.105）的计算。



我们不需要计算$R_{i 0}=R_{0 i}$，因为它是一个3向量，由于Robertson-Walker度规各向同性的要求它必须为零\textnote{如果你不信，可以试试看}。
Ricci张量中的非零分量是
	\begin{align}
		\begin{split}
		R_{00} & =-3 \frac{\ddot{a}}{a}, 
	\end{split}\\
\begin{split}
		R_{i j} & =-\left[\frac{\ddot{a}}{a}+2\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+2 \frac{k}{a^2}\right] g_{i j} 
	\end{split}
	\end{align}
注意到，此处$R_{i j} \propto g_{i j}$，这跟均匀性和各向同性的要求是相符的。



\begin{derivation}
$R_{00}$。 ---在（1.3.105）中令$\mu=\nu=0$，我们有
\begin{equation}
	R_{00}=\partial_\lambda \Gamma_{00}^\lambda-\partial_0 \Gamma_{0 \lambda}^\lambda+\Gamma_{\lambda \rho}^\lambda \Gamma_{00}^\rho-\Gamma_{0 \lambda}^\rho \Gamma_{0 \rho}^\lambda,
\end{equation}
由于Christoffel符号中有两个时间指标的分量为零，上式化简为
\begin{equation}
	R_{00}=-\partial_0 \Gamma_{0 i}^i-\Gamma_{0 j}^i \Gamma_{0 i}^j .
\end{equation}
使用$\Gamma_{0 j}^i=(\dot{a} / a) \delta_j^i$，我们有
\begin{equation}
	R_{00}=-\frac{d}{d t}\left(3 \frac{\dot{a}}{a}\right)-3\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=-3 \frac{\ddot{a}}{a} .
\end{equation}


\end{derivation}



Ricci标量是
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		R & =g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} \\
		& =R_{00}-\frac{1}{a^2} R_{i i}=-6\left[\frac{\ddot{a}}{a}+\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{k}{a^2}\right] .
	\end{aligned}
\end{equation}
爱因斯坦张量$G^\mu{ }_\nu \equiv g^{\mu \lambda} G_{\lambda \nu}$中的非零分量是
	\begin{align}
		\begin{split}
		G^0{ }_0 & =3\left[\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{k}{a^2}\right]
	\end{split}\\
\begin{split}
		G^i{ }_j & =\left[2 \frac{\ddot{a}}{a}+\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+\frac{k}{a^2}\right] \delta_j^i 
	\end{split}
	\end{align}


\begin{exercise}
验证方程（1.3.113）和（1.3.114）。
\end{exercise}







\subsection{Friedmann 方程}
将方程（1.3.113）和（1.3.114）跟应力张量（1.3.89）相结合，我们得到Friedmann 方程组
	\begin{align}
		\begin{split}
		\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 & =\frac{8 \pi G}{3} \rho-\frac{k}{a^2} 
	\end{split}\\
\begin{split}
		\frac{\ddot{a}}{a} & =-\frac{4 \pi G}{3}(\rho+3 P)
	\end{split}
	\end{align}
其中$\rho$和$P$应理解为宇宙中能量密度和压强的所有相关贡献之和。
我们用$\rho_r$表示辐射的贡献\textnote{光子用$\rho_\gamma$表示，中微子用$\rho_\nu$表示}，用$\rho_m$表示物质的贡献\textnote{冷暗物质用$\rho_c$表示，重子用$\rho_b$表示}，真空能量用$\rho_{\Lambda}$表示。
第一个Friedmann方程通常用哈勃参数来表示，$H \equiv \dot{a} / a$，
\begin{equation}
	H^2=\frac{8 \pi G}{3} \rho-\frac{k}{a^2}
\end{equation}
让我们使用下标“0”表示当今\textnote{$t=t_0$}的值。
处计算的数量。在平直宇宙中\textnote{$k=0$}，当今的临界密度为
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\rho_{\text {crit }, 0}=\frac{3 H_0^2}{8 \pi G} & =1.9 \times 10^{-29} h^2 \text { grams cm}^{-3} \\
		& =2.8 \times 10^{11} h^2 M_{\odot} \mathrm{Mpc}^{-3} \\
		& =1.1 \times 10^{-5} h^2 \text { protons cm }{ }^{-3} .
	\end{aligned}
\end{equation}
我们使用临界密度来定义一个无量纲的密度参数
\begin{equation}
	\Omega_{a, 0} \equiv \frac{\rho_{a, 0}}{\rho_{\text {crit }, 0}}, \quad a=r, m, \Lambda, \ldots
\end{equation}
Friedmann方程（1.3.117）可以写成
\begin{equation}
	H^2(a)=H_0^2\left[\Omega_{r, 0}\left(\frac{a_0}{a}\right)^4+\Omega_{m, 0}\left(\frac{a_0}{a}\right)^3+\Omega_{k, 0}\left(\frac{a_0}{a}\right)^2+\Omega_{\Lambda, 0}\right],
\end{equation}
其中，我们定义了一个“曲率”密度参数，$\Omega_{k, 0} \equiv-k /\left(a_0 H_0\right)^2$。
应注意的是，在文献中，下标“0”通常被丢掉，例如，$\Omega_m$通常表示今天的物质密度与今天的临界密度之比。
从现在起，我们将遵循此约定，并丢掉密度参数上的下标“0”。
我们还将使用约定的归一化标度因子，即$a_0 \equiv 1$。
方程式（1.3.120）变为
\begin{equation}
	\frac{H^2}{H_0^2}=\Omega_r a^{-4}+\Omega_m a^{-3}+\Omega_k a^{-2}+\Omega_{\Lambda} .
\end{equation}


\subsubsection{ΛCDM}
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.73\linewidth]{picture/0026.svg}
	\caption{IA型超新星和暗能量的发现。
		如果我们假设宇宙是平直的，那么超新星的亮度显然比仅含物质的宇宙\textnote{$\Omega_m=1.0$}中的预测更暗\textnote{或更远}。
		\textnote{SDSS=斯隆数字巡天；SNLS=超新星遗珍巡天；HST=哈勃太空望远镜}
	}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.53\linewidth]{picture/0027-1.svg}
	\caption{结各CMB和LSS\textnote{large scale structure，大尺度结构 }的观测，显示出宇宙的空间几何结构是平直的。
		宇宙的能量密度被宇宙学常数主导。
		注意，单凭CMB的数据不能排除具有大空间曲率的纯物质宇宙。暗能量的证据需要额外的输入。
	}
\end{figure}



观测表明\textnote{见图1.7和1.8}宇宙充满了辐射\textnote{“$r$”}、物质\textnote{“$m$”}和暗能量\textnote{“$\Lambda$”}:
\begin{equation*}
	\left|\Omega_k\right| \leq 0.01, \quad \Omega_r=9.4 \times 10^{-5}, \quad \Omega_m=0.32, \quad \Omega_{\Lambda}=0.68 .
\end{equation*}
暗能量的状态方程似乎是宇宙常数的状态方程，$w_{\Lambda} \approx-1$。
物质分成$5 \%$的普通物质\textnote{重子，“$b$”}和$27 \%$的\textnote{冷}暗物质\textnote{CDM，“$c$”}：
\begin{equation*}
	\Omega_b=0.05, \quad \Omega_c=0.27 .
\end{equation*}
我们看到，即使到今天，曲率的贡献也不到宇宙能量预算的$1 \%$。
在早期，曲率的影响是完全可以忽略的\textnote{回想一下，物质和辐射的标度分别为$a^{-3}$和$a^{-4}$，而曲率的贡献仅按$a^{-2}$增加}。
因此，在这讲义的后半部分，我将设$\Omega_k \equiv 0$。
在第2章中，我们将证明爆涨确实预测了曲率的影响在宇宙早期是微不足道的\textnote{另见问题集2}。














\subsubsection{单组分宇宙}

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.63\linewidth]{picture/0027-2.svg}
	\caption{宇宙中能量密度的演化。
	}
\end{figure}

不同的物质有着不同的标度\textnote{辐射$\left(a^{-4}\right)$、物质$\left(a^{-3}\right)$和真空能量$\left(a^0\right)$}，
这表明在宇宙历史的大部分时间里都是由某单一组分主导的\textnote{首先是辐射，然后是物质，然后是真空能量；见图1.9}。
通过状态方程$w_a$对这此组分进行参数化，可以获得所有感兴趣的情况。
对于平坦的单一组分宇宙，Friedmann方程（1.3.121）简化为
\begin{equation}
	\frac{\dot{a}}{a}=H_0 \sqrt{\Omega_a} a^{-\frac{3}{2}\left(1+w_a\right)} .
\end{equation}
对这个方程进行积分，我们可得到标度因子的时间依赖
\begin{equation}
	a(t) \propto\left\{\begin{array}{llll}
		t^{2 / 3\left(1+w_a\right)} & w_a \neq-1 & t^{2 / 3} & \mathrm{MD} \\
		& & t^{1 / 2} & \mathrm{RD} \\
		e^{H t} & w_a=-1 & & \Lambda \mathrm{D}
	\end{array}\right.
\end{equation}
或者，在共形时间下为
\begin{equation}
	a(\eta) \propto\left\{\begin{array}{llll}
		\eta^{2 /\left(1+3 w_a\right)} & w_a \neq-1 & \eta^2 & \mathrm{MD} \\
		(-\eta)^{-1} & w_a=-1 & \eta & \mathrm{RD} \\
		& & \Lambda \mathrm{D}
	\end{array}\right.
\end{equation}


\begin{exercise}
	从方程式（1.3.123）推导方程式（1.3.124）。
\end{exercise}








\subsubsection{双组分宇宙$ ^{*} $}

在$a_{\mathrm{eq}} \equiv \Omega_r / \Omega_m \approx 3 \times 10^{-4}$时，物质和辐射同等重要，这是在宇宙微波背景释放前不久\textnote{在$\S 3.3 .3$中，我们将证明这发生在$a_{\text {rec }} \approx 9 \times 10^{-4}$}。
有一个描述过渡时期的精确解将是很有用的。
因此，让我们考虑一个充满物质和辐射混合物的平坦宇宙。
为了解决尺度因子的演化问题，使用共形时间被证明是方便地。
此时Friedmann方程（1.3.115）和（1.3.116）变为
\begin{align}
	\begin{split}
		\left(a^{\prime}\right)^2 & =\frac{8 \pi G}{3} \rho a^4, 
			\end{split}\\
		\begin{split}
		a^{\prime \prime} & =\frac{4 \pi G}{3}(\rho-3 P) a^3,
			\end{split}
\end{align}
其中$ {}^{\prime} $表示关于共形时间的导数，并且
\begin{equation}
	\rho \equiv \rho_m+\rho_r=\frac{\rho_{\mathrm{eq}}}{2}\left[\left(\frac{a_{\mathrm{eq}}}{a}\right)^3+\left(\frac{a_{\mathrm{eq}}}{a}\right)^4\right] .
\end{equation}
\begin{exercise}
推导公式（1.3.125）和（1.3.126）。您首先需要确信$\dot{a}=a^{\prime} / a$和$\ddot{a}=a^{\prime \prime} / a^2-\left(a^{\prime}\right)^2 / a^3$。
\end{exercise}
注意到，辐射源在方程（1.3.126）中没有项献，$\rho_r-3 P_r=0$。
此外，由于$\rho_m a^3=\text{常数}=\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{eq}} a_{\mathrm{eq}}^3$，我们可以将方程（1.3.126）写成
\begin{equation}
	a^{\prime \prime}=\frac{2 \pi G}{3} \rho_{\mathrm{eq}} a_{\mathrm{eq}}^3 .
\end{equation}
该方程具有如下解
\begin{equation}
	a(\eta)=\frac{\pi G}{3} \rho_{\mathrm{eq}} a_{\mathrm{eq}}^3 \eta^2+C \eta+D
\end{equation}
强制规定$a(\eta=0) \equiv 0$，固定一个积分常数$D=0$。
我们通过将（1.3.129）和（1.3.127）代入（1.3.125），得到第二个积分常数，
\begin{equation}
	C=\left(\frac{4 \pi G}{3} \rho_{\mathrm{eq}} a_{\mathrm{eq}}^4\right)^{1 / 2} .
\end{equation}
方程（1.3.129）可以被写为
\begin{equation}
	a(\eta)=a_{\mathrm{eq}}\left[\left(\frac{\eta}{\eta_{\star}}\right)^2+2\left(\frac{\eta}{\eta_{\star}}\right)\right],
\end{equation}
这里
\begin{equation}
	\eta_{\star} \equiv\left(\frac{\pi G}{3} \rho_{\mathrm{eq}} a_{\mathrm{eq}}^2\right)^{-1 / 2}=\frac{\eta_{\mathrm{eq}}}{\sqrt{2}-1} .
\end{equation}
对于$\eta \ll \eta_{\mathrm{eq}}$，我们能回到辐射主导下的极限行为，$a \propto \eta$，而对于$\eta \gg \eta_{\mathrm{eq}}$，我们也可得到物质主导下的极限行为，$a \propto \eta^2$。













